3.279 \(\int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=601 \[ -\frac{6 i c d^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i c d^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 x \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^3 x \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

((12*I)*c*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 + ((6*I)*d^3*x^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^3*x*ArcTanh[
E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*c*d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (3*
c^2*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (3*c^2*d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - (3*c*d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 - (3*d^3*x^2*
Csc[a + b*x])/(2*b^2) + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^
(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*c*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(
a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*c*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*d^3*x*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))]
)/b^3 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^
2 - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3
*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((9*I)*d^3*PolyLog[4
, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((9*I)*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*(c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/(2*b) -
((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.31269, antiderivative size = 601, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 64, number of rules used = 24, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 1., Rules used = {2622, 288, 321, 207, 4420, 6688, 12, 6742, 6273, 4183, 2531, 6609, 2282, 6589, 4133, 453, 206, 4181, 2279, 2391, 2621, 6271, 3770, 14} \[ -\frac{6 i c d^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i c d^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 x \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^3 x \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((12*I)*c*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 + ((6*I)*d^3*x^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*d^3*x*ArcTanh[
E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (3*c*d^2*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/b^3 - (3*
c^2*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (3*c^2*d*Csc[a + b*x])/(2*b^2) - (3*c*d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 - (3*d^3*x^2*
Csc[a + b*x])/(2*b^2) + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -E^
(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*c*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(
a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*c*d^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*d^3*x*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))]
)/b^3 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^
2 - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3
*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((9*I)*d^3*PolyLog[4
, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((9*I)*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (3*(c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/(2*b) -
((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6688

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = SimplifyIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SimplerIntegrandQ[v, u, x]]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4133

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[((1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(b + a*(ff*x)^n)^p)/(ff*x)^(n*
p), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p
]

Rule 453

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(c*(e*x)^(m
+ 1)*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*e*(m + 1)), x] + Dist[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a*e^n*(m + 1)), In
t[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegerQ[n] ||
GtQ[e, 0]) && ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (LtQ[n, 0] && GtQ[m + n, -1])) &&  !ILtQ[p, -1]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 6271

Int[ArcTanh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[(x*D[u, x])/(1 - u^2), x], x] /; I
nverseFunctionFreeQ[u, x]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-\frac{3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-(3 d) \int \frac{(c+d x)^2 \left (-3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-\left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right )}{2 b} \, dx\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-\left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int \left (-3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-(c+d x)^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3 \int b (-c-d x)^3 \csc (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{(3 d) \int \left (c^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)+2 c d x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)+d^2 x^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3}{2} \int (-c-d x)^3 \csc (a+b x) \, dx+\frac{\left (3 c^2 d\right ) \int \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{b}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int x^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(9 d) \int (-c-d x)^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{(9 d) \int (-c-d x)^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 c^2 d\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1-3 x^2}{x^2 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\sin (a+b x)\right )}{2 b^2}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \left (-3 x \sec (a+b x)+x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \left (-3 x^2 \sec (a+b x)+x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 c^2 d\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-x^2} \, dx,x,\sin (a+b x)\right )}{b^2}+\frac{\left (9 i d^2\right ) \int (-c-d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 i d^2\right ) \int (-c-d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac{\left (9 c d^2\right ) \int x \sec (a+b x) \, dx}{b}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}-\frac{\left (9 d^3\right ) \int x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{18 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{9 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{3 c d^2 x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{3 d^3 x^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (9 c d^2\right ) \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 c d^2\right ) \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \left (\frac{\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}+\frac{\left (9 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (9 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (9 d^3\right ) \int x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 d^3\right ) \int x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int x \left (\frac{\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{18 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{9 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{3 c d^2 x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{3 d^3 x^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (9 i c d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (9 i c d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \csc (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (9 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (9 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (9 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \left (\frac{x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{x \csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{18 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{9 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{3 d^3 x^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int b x \sec (a+b x) \, dx}{b^2}+\frac{\left (9 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (9 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int x \csc (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{18 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{9 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int x \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int b x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b^2}\\ &=\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{9 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 c d^2\right ) \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 i c d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (3 i c d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=\frac{12 i c d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 i d^3 x^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 x \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 c d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{3 c^2 d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{3 c^2 d \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac{3 c d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{3 d^3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i c d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^3 x \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 8.31608, size = 907, normalized size = 1.51 \[ -\frac{\sec (a+b x) \left (-b c^3+3 b \cos (2 a+2 b x) c^3-3 b d x c^2+9 b d x \cos (2 a+2 b x) c^2+3 d \sin (2 a+2 b x) c^2-3 b d^2 x^2 c+9 b d^2 x^2 \cos (2 a+2 b x) c+6 d^2 x \sin (2 a+2 b x) c-b d^3 x^3+3 b d^3 x^3 \cos (2 a+2 b x)+3 d^3 x^2 \sin (2 a+2 b x)\right ) \csc ^2(a+b x)}{4 b^2}-\frac{3 d \left (-2 i c^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right ) b^2+d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b^2+2 c d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b^2-d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b^2-2 c d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b^2+2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right ) b-2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right ) b-2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^4}+\frac{3 \left (c^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^3+d^3 x^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^3+3 c d^2 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^3+3 c^2 d x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^3-c^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^3-d^3 x^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^3-3 c d^2 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^3-3 c^2 d x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^3+2 c d^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b+2 d^3 x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b-2 c d^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b-2 d^3 x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b-6 c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) b-6 d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) b+6 c d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) b+6 d^3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) b+i d \left (2 d^2+3 b^2 (c+d x)^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )-i d \left (2 d^2+3 b^2 (c+d x)^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )-6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )+6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

(-3*d*((-2*I)*b^2*c^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] + 2*b^2*c*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + b^2*d^2*x^2*Log[1 - I
*E^(I*(a + b*x))] - 2*b^2*c*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - b^2*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + (2*I)*b*
d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] - 2*d^2*PolyL
og[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))]))/b^4 + (3*(b^3*c^3*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]
+ 2*b*c*d^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + 2*b*d^3*x*Log[1 - E^(I*(a + b
*x))] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + b^3*d^3*x^3*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - b^3*c^3*Log[1 + E^(I
*(a + b*x))] - 2*b*c*d^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 2*b*d^3*x*Log[1 +
E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - b^3*d^3*x^3*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + I*d*(2*d
^2 + 3*b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] - I*d*(2*d^2 + 3*b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*
x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] - 6*b*d^3*x*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3,
E^(I*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*d^3*
PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))]))/(2*b^4) - (Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]*(-(b*c^3) - 3*b*c^2*d*x - 3*b*c*d^2*x^2 -
b*d^3*x^3 + 3*b*c^3*Cos[2*a + 2*b*x] + 9*b*c^2*d*x*Cos[2*a + 2*b*x] + 9*b*c*d^2*x^2*Cos[2*a + 2*b*x] + 3*b*d^
3*x^3*Cos[2*a + 2*b*x] + 3*c^2*d*Sin[2*a + 2*b*x] + 6*c*d^2*x*Sin[2*a + 2*b*x] + 3*d^3*x^2*Sin[2*a + 2*b*x]))/
(4*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.727, size = 1613, normalized size = 2.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

-9/2/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+9/2/b*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-9*I/b^2*d^2*c*polylog(2,exp(I*(b*x+
a)))*x+9*I/b^2*d^2*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+3*I*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*d^3/b^2*ln(1-I*exp(
I*(b*x+a)))*x^2-3*d^3/b^4*a^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))+3*d^3/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*d^3/b^4*a^2*ln(1-I
*exp(I*(b*x+a)))+6*I*d^3*x*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+9*I*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^3*d^3*ln(
exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b^3*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+6*d^3*polylog(3,-I*exp(I
*(b*x+a)))/b^4-6*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*I*d/b^2*c^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-9*I*d^3*polylog(4,-e
xp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^4*d^3*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b^3*d^2*c*ln(exp(I*(b*x
+a))-1)+3/2/b*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+3/2/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-3/2/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)
*x^3+9/2/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-9/2/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-9/2/b^3*c*d^2*a^2*ln(1-exp(I*
(b*x+a)))-9/2/b*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+9/2/b*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+9/2/b^2*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+
a)))*a-6*I*d^3*x*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+6*d^2/b^3*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-6*d^2/b^2*c*ln(1-I*exp(
I*(b*x+a)))*x-6*d^2/b^3*c*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*d^2/b^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+6*I*d^3/b^4*a^2*arctan
(exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^2/b^3*c*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+9/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x-9/b^3*d^3*polyl
og(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+9/b^3*c*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))-9/b^3*c*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))-3/2/b^4*d
^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-9/2*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2+9/2*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)
))*x^2-9/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+9/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*d^3*polylo
g(2,I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*I/b^3*d^2*c*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^3*d^2*c*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^
4*d^3*a*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^4*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*a-6*I/b^4*d^3*a*dilog(1-I*exp(I*(b*
x+a)))+3/2/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/2/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+1/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2/(exp(2*I*(b*
x+a))+1)*(3*d^3*x^3*b*exp(5*I*(b*x+a))+9*c*d^2*x^2*b*exp(5*I*(b*x+a))+9*c^2*d*x*b*exp(5*I*(b*x+a))-2*d^3*x^3*b
*exp(3*I*(b*x+a))+3*c^3*b*exp(5*I*(b*x+a))-6*c*d^2*x^2*b*exp(3*I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x*exp(I*(b*x+a))-6*c^2*d*x
*b*exp(3*I*(b*x+a))+3*d^3*x^3*b*exp(I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(5*I*(b*x+a))-2*c^3*b*exp(3*I*(b*x+a))+9*c*d^2*x
^2*b*exp(I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(5*I*(b*x+a))+9*c^2*d*x*b*exp(I*(b*x+a))+3*c^3*b*exp(I*(b*x+a))+3*I*d^3*x^2
*exp(I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(5*I*(b*x+a))+3*I*c^2*d*exp(I*(b*x+a)))-3*I*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 18.6152, size = 10858, normalized size = 18.07 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(c^3*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x +
a) - 1)) - 3*a*c^2*d*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*
log(cos(b*x + a) - 1))/b + 3*a^2*c*d^2*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b
*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x + a) - 1))/b^2 - a^3*d^3*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)
) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x + a) - 1))/b^3 + 4*((12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)^2*
d^3 + 12*a^2*d^3 + 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b
*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 - 12*I*
a^2*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(
b*x + a)^2*d^3 + 12*I*a^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24
*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + 12*I*a^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*
arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)^2*d^3 + 12*a^2*d^3 + 24*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b
*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x
+ a))*cos(4*b*x + 4*a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x +
a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 - 12*I*a^2*d^3 + (-24*I*b*c*d
^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + 12*I*
a^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(b
*x + a)^2*d^3 + 12*I*a^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a),
-sin(b*x + a) + 1) - (6*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(3*b^2*
c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a) + 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*((b*x + a)^3*d
^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*
x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2
*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b*c*d^2 - 12
*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3)
*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3
)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-6*
I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d +
36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1)
+ (12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) - 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 12*
(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) - (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^
3)*sin(4*b*x + 4*a) - (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) -
(6*(b*x + a)^3*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x +
a) + 6*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*
x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 +
(3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*
c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18
*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a)
+ (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*
I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a
)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x
+ a), -cos(b*x + a) + 1) - (12*I*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 + (36*I*b*c*d^2 -
12*(3*I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*I*b^2*c^2*d - 24*(3*I*a - 1)*b*c*d^2 + (36*I*a^2 - 24*a)*d^3)*(b*x + a)
)*cos(5*b*x + 5*a) - (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^2*d + 48*
I*a*b*c*d^2 - 24*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - (12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*b^2*c^2*d + 24*a*b*c*d^2
- 12*a^2*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 12*(3*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*I*b^2*c^2*d - 24*(3*I*a + 1)*b*c*d^2 + (3
6*I*a^2 + 24*a)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (24*b*c*d^2 + 24*(b*x + a)*d^3 - 24*a*d^3 + 24*(b*c*d^2 + (b*x
+ a)*d^3 - a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) - 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b*c*d^2 + (b*
x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) - (2
4*I*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - (24*I*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*
d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - (24*b*c*d^2 + 24*(b*x + a)*d^3 - 24*a*d^3 + 24*(b*c*d^2 + (b
*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) - 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b*c*d^2 +
(b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (24*I*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) +
(-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) + (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*
I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + (18*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*d^2 + 18*(b*x + a)^2*d^3 + 6*(
3*a^2 + 2)*d^3 + 36*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 +
2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 +
(3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)
^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2
- 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) -
(18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*
(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3
+ (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - (18*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*
d^2 + 18*(b*x + a)^2*d^3 + 6*(3*a^2 + 2)*d^3 + 36*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 +
3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*
b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 6*(3*b^2*c^2
*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (18
*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*
x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 - 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3 +
(-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 - 18*I*(b*x + a)
^2*d^3 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I
*a)) - (-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^
2*d + 18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9
*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(
6*b*x + 6*a) + (3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b
^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*
d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^
3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 +
(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2
*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x
+ 4*a) - 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d
^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) -
(3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*
I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 -
9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) +
(-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d +
18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I
*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*
x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2
*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3
+ 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a)
+ 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (
3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (-6*I
*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-6
*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*co
s(6*b*x + 6*a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*
d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I
*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c
*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) - (6*I*b^
2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a) + (6*I*b^
2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*
x + 6*a) + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)
*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b
*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*
c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) - (36*d^3*c
os(6*b*x + 6*a) - 36*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 36*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 36*I*d^3*sin(6*b*x + 6*a) - 36*I*d^3*sin
(4*b*x + 4*a) - 36*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 36*d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + (36*d^3*cos(6*b*x + 6*a) -
36*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 36*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 36*I*d^3*sin(6*b*x + 6*a) - 36*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 36
*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 36*d^3)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*d^3*cos(6*b*x + 6*a) + 24*I*d^3*cos(4*b
*x + 4*a) + 24*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 24*d^3*sin(6*b*x + 6*a) - 24*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 24*d^3*sin(2*b*x +
2*a) - 24*I*d^3)*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) - (24*I*d^3*cos(6*b*x + 6*a) - 24*I*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 24*
I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 24*d^3*sin(6*b*x + 6*a) + 24*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 24*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 24*I*d^
3)*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) - (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(
b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a
) + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*s
in(6*b*x + 6*a) - 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)
*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3 + (36*I*b*c*
d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3)*co
s(4*b*x + 4*a) + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*
d^3 - a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) + 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) + 36*(b*c*d^2 + (b*x + a
)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (12*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b
*c*d^2 - 12*I*a^2*d^3 + (36*b*c*d^2 - (36*a + 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*b^2*c^2*d - (72*a + 24*I)*b*c*d^2 +
12*(3*a^2 + 2*I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(5*b*x + 5*a) - 8*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 +
3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (12*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b^2*c^2*d - 24*
I*a*b*c*d^2 + 12*I*a^2*d^3 + (36*b*c*d^2 - (36*a - 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*b^2*c^2*d - (72*a - 24*I)*b*c*
d^2 + 12*(3*a^2 - 2*I*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-4*I*b^3*cos(6*b*x + 6*a) + 4*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) +
4*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 4*b^3*sin(6*b*x + 6*a) - 4*b^3*sin(4*b*x + 4*a) - 4*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^3
))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.3474, size = 7588, normalized size = 12.63 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*(4*b^3*d^3*x^3 + 12*b^3*c*d^2*x^2 + 12*b^3*c^2*d*x + 4*b^3*c^3 - 6*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3
*c^2*d*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a)^2 - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - (
(-9*I*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^3 + (9*I*b^2*d^3*x^2 + 18*I*b^2*c
*d^2*x + 9*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((9*I*b^2*d^3*x^2 + 18*
I*b^2*c*d^2*x + 9*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^3 + (-9*I*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d
- 6*I*d^3)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3
+ (-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - ((12*I*b*d^3*x + 12*I*b
*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 + (-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - (
(-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 + (12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x +
a) + sin(b*x + a)) - ((-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 + (12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x +
a))*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - ((-9*I*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*
cos(b*x + a)^3 + (9*I*b^2*d^3*x^2 + 18*I*b^2*c*d^2*x + 9*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a)) - ((9*I*b^2*d^3*x^2 + 18*I*b^2*c*d^2*x + 9*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^3 + (-9*I
*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))
+ 3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 2*b*c*d^2 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*
d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 2*b*c*d^2 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) +
I*sin(b*x + a) + 1) + 6*((b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d
^3)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 2*b*c
*d^2 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 + 2*b*c*d^2 + (3*b
^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 6*((b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^
2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) +
I) + 6*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x +
2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) - 6*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x
+ 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a))*
log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + 6*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)
^3 - (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) +
1) - 6*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x +
2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*((b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (
3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 +
2*a)*d^3)*cos(b*x + a))*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 3*((b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*
a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2
*a)*d^3)*cos(b*x + a))*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 +
3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*d^3*x^3 +
3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a))*l
og(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + 6*((b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*c^2*d -
2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - 3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x
^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*d^3*x^
3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a
))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 6*((b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*c^2*
d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - (18*I*d^3*cos(b*x + a)^3 -
18*I*d^3*cos(b*x + a))*polylog(4, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - (-18*I*d^3*cos(b*x + a)^3 + 18*I*d^3*cos(b*
x + a))*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (18*I*d^3*cos(b*x + a)^3 - 18*I*d^3*cos(b*x + a))*polylog(
4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - (-18*I*d^3*cos(b*x + a)^3 + 18*I*d^3*cos(b*x + a))*polylog(4, -cos(b*x +
a) - I*sin(b*x + a)) - 18*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a))*polylog(3, c
os(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 18*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a))*pol
ylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 12*(d^3*cos(b*x + a)^3 - d^3*cos(b*x + a))*polylog(3, I*cos(b*x + a)
+ sin(b*x + a)) + 12*(d^3*cos(b*x + a)^3 - d^3*cos(b*x + a))*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 12*(d
^3*cos(b*x + a)^3 - d^3*cos(b*x + a))*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 12*(d^3*cos(b*x + a)^3 - d^
3*cos(b*x + a))*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 18*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^3*x
+ b*c*d^2)*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 18*((b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^3
- (b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^4*cos(b*x + a)^3 - b^4*cos(
b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out